Chapitre 13 - Fluctuation

IIntervalle de fluctuation au seuil des 95%

Si l'on effectue un tirage au sort (avec remise) dans une urne contenant une proportion \(p=0,4\) de boules blanches, il y a de grande chances de tirer environ \(40%\) de boules blanches.

Ca n'est généralement vrai, que si l'on effectue un nombre \(n\) significativement important de tirages.

Il est possible de prouver que dans des conditions particulières, la proportion correspondra environ à \(40%\) dans \(95%\) des cas. C'est ce qu'exprime l'intervalle de fluctuation asymptotique.

Soient \(p\) la proportion connue, \(n\) le nombre de tirage, et \(f\) la fréquence effective (réelle).

Si \(n \geq 30\), \(n f \geq 5\) et \(n (1-f)\geq 5\), alors :

\(f\) est dans l'intervalle \([p - 1,96\frac{\sqrt{p (1-p)}}{\sqrt{n}}, p + \frac{\sqrt{p (1-p)}}{\sqrt{n}}]\) avec une probabilité de \(0,95\)

Exercice type (Vérification d'une hypothèse) :

La proportion \(p\) d'enfants prématurés en France est de \(6\%\). Des chercheurs font l'hypothèse qu'une femme ayant eu un travail pénible pendant sa grossesse a plus de chance d'avoir un enfant prématuré.

Ils réalisent une enquête sur \(n=400\) femmes ayant eu un travail pénible pendant leur grossesse.

Dans cet échantillon, \(50\) femmes ont eu des prématurés.

1 Déterminer à \(10^{-4}\) près, l'intervalle de fluctuation \(I\) au seuil de \(95\%\).
2 Calculer la fréquence effective \(f\) de prématurés sur l'échantillon.
3 On valide l'hypothèse si \(f\) est plus grande que la borne supérieure de l'intervalle \(I\). Conclure.

Correction :

  • \(I = [p - 1,96\frac{\sqrt{p (1-p)}}{\sqrt{n}}, p + \frac{\sqrt{p (1-p)}}{\sqrt{n}}] \simeq [0,037,0,083]\)

    Les conditions \(n =400 \geq 30\), \(n f = 24 \geq 5\) et \(n (1-f) = 376 \geq 5\) sont satisfaites, donc l'échantillon est significatif.

  • \(f = \frac{50}{400} = 0,125\)
  • \(f \gt 0,083\), donc l'hypothèse selon laquelle un travail pénible durant la grossesse acroît les risques de naissance prématurée est validée.

IIIntervalle de confiance 0,95

Lorsqu'une étude statistique déclare que 35% des français préfèrent la montagne à la plage, il s'agit d'une fréquence (\(p=0,35\)) estimée, mais que l'on ne connaît pas réellement (il est impossible d'interroger tous les français).

On peut prouver mathématiquement que cette statistique est fiable à 95% si on a interrogé un échantillon de \(n\) français suffisemment grand.

Cet outil mathématique est l'intervalle de confiance 0,95.

Soient \(f\) la fréquence observée, \(n\) la taille d'un échantillon et \(p\) la fréquence réelle (inconnue).

Si \(n \geq 30\), \(n f \geq 5\) et \(n (1-f)\geq 5\), alors :

\(p\) est dans l'intervalle \([f - \frac{1}{\sqrt{n}}, f + \frac{1}{\sqrt{n}}]\) avec une probabilité de \(0,95\)

Exercice type (aide à la décision) :

Un médecin veut tester un traitement. Il expérimente sur deux groupes de malades ayant la même pathologie.

  • Le groupe A (150 malades) reçoit le traitement. La maladie est réduite pour 121 patients.
  • Le groupe B (150 malades) reçoit un placebo. La maladie est réduite pour 94 patients.

4 Déterminer à \(10^{-2}\) près les fréquences \(f_A\) et \(f_B\) des patients en rémission dans chaque groupe.
5 Déterminer à \(10^{-2}\) près l'intervalle de confiance 0,95 pour chaque groupe.
6 On considère que le traitement fonctionne si les deux intervalles sont disjoints. Conclure.

Correction :

  • \(f_A = \frac{121}{150} \simeq 0,81\) et \(f_B = \frac{94}{150}\simeq 0,63\)

  • Pour le groupe A l'intervalle est \([f_A - \frac{1}{\sqrt{n}},f_A + \frac{1}{\sqrt{n}}] \simeq [0,73,0,89]\)

    Pour le groupe B l'intervalle est \([f_B - \frac{1}{\sqrt{n}},f_B + \frac{1}{\sqrt{n}}] \simeq [0,55,0,71]\)

  • Les deux intervalles de confiance 0,95 sont bien disjoints, on peut considérer le traitement efficace.